张院士谈“五猴分桃”
张景中院士
猴子分桃
有一大堆桃子，这是5只猴子的公共财产，它们要平均分配。
第一只猴子来了，它左等右等，别的猴子都不来，便动手把桃子均分成5堆，还剩了1个。它觉得自己辛苦了，当之无愧地把这1个无法分配的桃子吃掉，又拿走了5堆中的1堆。
第二只猴子来了。它不知道刚才发生的情况，又把桃子均分成5堆，可还是多了1个。它吃了这1个，拿1堆走了。
以后，每个猴子来了，都是如此办理。
请问：原来至少有多少桃子？最后至少剩多少桃子？
据说，这个问题是由英国物理学家、诺贝尔物理学奖得主狄拉克提出来的。1979年春天，美籍物理学家李政道，在跟中国科学技术大学少年班同学座谈时，也向他们提出过这个题目。当时，谁也没有能够当场作出回答，可见这个题目有点难。
你能解这个题目吗？
动脑又动手
做数学题目，光凭脑子想，是不容易找到方法和得到结果的。
我们一起来动手写写算算吧！
设原有桃x个，最后剩下y个。那么，每一只猴子连吃带拿，得到了多少桃子呢?
第一只猴子吃了1个，又拿走了剩下的(x-1)个的1/5，一共得到
它走了，这里留下的桃子还有
第二只猴子连吃带拿，得到了桃子
当第三个猴子来到时，这里还有桃子
也就是又从原数中减1、再乘4/5。
现在，我们找到解题的思路了：每来一只猴子，桃子的数目就发生变化——减1、乘4/5。所以，当第五只猴子来过后，我们已对x进行5次这样的减1、乘4/5的操作了。
注意:在写的时候，每减1之后，应添个括号，再乘4/5。这样5次之后，便得到了y。所以，我们有
这一堆符号，可真叫人眼花缭乱。要是你耐着性子，一步一步整理，应当得到
这样的一个等式，也就是
从这个式子里，我们不能断定x和y是多少。不过，因为x和y都是正整数，而4的4次方与5的4次方互素，所以5的5次方整除x+4,这样我们就可以算出x至少是
5^5-4=3125-4=3121
类似地，4的5次方整出y+4，所以y至少是
方法多样
五猴分桃，有没有简单一点的算法呢？有。
狄拉克本人，就提出过一个简单的巧妙解法。据说数学家怀德海，也提出了一个类似的解法。
奇怪的是:狄拉克和怀德海都没有想到，这个问题还有一个十分简单的解法。它只用到一点算术知识，是小学生也能算出来的。
桃子不是分不匀，总要剩下1个吗？问题的麻烦，就是因为多了1个桃子。
好。你来扮演一个助猴为乐的角色，借给猴子4个桃，这不就可以均分成5堆了嘛。反正最后还剩一大堆，你拿得回来的。
现在，让5只猴子再分一次。桃子虽然多了4个，可是第一个猴子并没有从中捞到便宜。因为这时桃子正好可以均分成5堆，它拿到的1堆，恰巧等于刚才你没有借给它们4个桃子时，它连吃带拿的数目。
这样，当第二只猴子到来时，桃子的数目，还是比你没借给它们时多了4个，又正好均分成5堆。所以，第二个猴子得到的桃子，也不多不少，和原来连吃带拿一样多。
第三、第四、第五只猴子到来时，情况也是这样。
5个猴子，每一个都恰好拿走当时桃子总数的1/5，剩下4/5；而开始的时候桃子的数目是x+4。这样，到了最后便剩下
个桃子，这比剩下的y个多4个。所以得到
同样的结论，得来全不费工夫！
为什么
不妨想一想：这一借一还究竟是怎么回事？为什么一下子就把问题简化了呢？
关键在于，猴子每来一次，桃子的数目发生了什么变化？
在你没有错给它们4个桃子的时候，那情况是:每来一只猴子之后，桃子数就减1、乘4/5，来5个猴子之后，就等于对x进行5次减1、乘4/5。
你看，减1乘4/5，再减1乘4/5，再减1乘4/5，再减1乘4/5，再减1乘4/5，这一串运算多麻烦。
要是你先借出4个桃子，使每一个猴子拿走1/5，然后再把4个桃子拿回来，结果和前面完全一样。这个过程，相当于对桃子数目加4乘4/5、再减4。也就是说：减1乘4/5，相当于加4乘4/5、再减4。用字母表示，就是
不信，你算一算，两边确实是恒等的。
这样看来，猴子每来一次，桃子数的变化有两种计算方法:一种是减1乘4/5，另一种是加4乘4/5、再减4。后一种计算方法是三步，看起来好象更麻烦了。其实，多次连续进行计算就显出它的优越性来了。你看：
加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4。
这中间有四次减4、加4，互相抵消，加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4。
总效果是：
加4、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、减4。
这是一个很好算的过程，那结果可以一下子写出来：
像这样把一个运算过程，变成另一个形变而值不变的运算过程，在数学上叫做等价方法。
思考题
1. 设有m个桃子，k只猴子，每个猴子来到之后，把桃子分成k堆，还剩下r个，它吃掉r个之后，又拿走了一堆。这样k个猴子都来了之后，至少还有多少桃子？
2. 桌子上有一壶凉开水，其中放了50克糖。一个孩子跑来，把糖水倒出一半喝掉，添上30克糖，加满水，和匀，走了。这样来过5个孩子之后，壶里还有多少糖？来过很多孩子之后，壶里的糖能增加到100克吗？
附其他两种解法
解法一
这个解法摘译自哈尔莫斯的一篇通俗文章，译者是中国传媒大学的陈见柯教授。
狄拉克
狄拉克的解法可以称之为特征向量法或不动点法，如下：
假定桃子的个数为x，考虑任一猴子处理完桃子之后，剩下的桃子数量S(x)。 这个公式相对简单，即
我们称整数x是一个解，如果用算子S操作5次以后的数为正整数。换言之，我们要找满足上述条件的最小正整数解。
注意到
我们有
因此
对一切x和y都成立。这意味着如果x和y都是解，则x和y模5的5次方同余（即，x与y的差被5的5次方整除）。反之，若x是一个解，并且y跟x模5的5次方同余，则y也是一个解。
最容易想到的解，应该是对应于特征方程
的特征向量，其解为
因此最小的正整数解为
注意：不变量（不动点、特征值、特征向量）的概念，或许是数学基本元素之一。
（作者：哈尔莫斯(Halmos)）
解法二
回到最开始的方程，那里要求解方程
的正整数解，这是两个未知数x,y的一次方程。我们将它化成标准形式，即得
回想起这方程的如何来的，可以发现，实际上我们选取中间一步得到的方程
来观察更可取。这意味着
是方程的一个特解，要得出方程的所有解，只需要考察对应的齐次方程
由于这两个系数1024与3125互素，所以容易得到，该齐次方程的通解为
其中k为任意的整数。从而原方程的通解为：
其中k为任意的整数。特别地，为得到最小正整数解，只需要令k=1，这就得到
（作者：林开亮）
